بولین الجبرا. منطق کی الجبرا. ریاضیاتی منطق کے عناصر

آج کی دنیا میں ہم تیزی مشینیں اور گیجٹ کی ایک قسم کا استعمال کرتے ہوئے کر رہے ہیں. اور یہ لفظی الوکک طاقت لاگو کرنے کے لئے ضروری ہے جب نہ صرف: وغیرہ اونچائی پر یہ اضافہ، طویل اور گہری خندق کھودنے پر بوجھ منتقل کاریں آج روبوٹ جمع، کھانا پکایا Multivarki اور ابتدائی ریاضی کے حساب کیلکولیٹرز پیدا کر رہا ہے ... زیادہ سے زیادہ کثرت سے ہم جملہ "بولین الجبرا" سن. شاید وقت نہ صرف ریاضی، بلکہ حل کرنے کی صلاحیت روبوٹ اور مشینوں کی تخلیق میں انسان کے کردار کو سمجھنے کے لئے آیا ہے منطقی مسائل.

منطق

یونانی منطق میں - دی حالات کے درمیان تعلق پیدا کرتا ہے اور آپ کو مفروضوں اور اندازوں پر مبنی استنباط بنانے کے لئے کی اجازت دیتا ہے کہ سوچ کا حکم دیا نظام. اکثر، ہم ایک دوسرے سے پوچھتے ہیں: "یہ منطقی ہے" جواب ہمارے مفروضات کی تصدیق یا سوچ کی ٹرین تنقید. لیکن عمل سے نہیں روکتا: ہم بات کرنے کے لئے جاری.

کبھی کبھی حالات (ان پٹ) کی تعداد تو بہت اچھا ہے، اور ان کے درمیان تعلق ہے کہ انسانی دماغ تمام ایک بار میں "ہضم" کرنے کے قابل نہیں ہے، تو مبہم اور پیچیدہ ہے. تم کیا ہو رہا ہے کی تفہیم کے لئے ایک سے زیادہ ماہ (ہفتہ، سال) کی ضرورت ہو. لیکن جدید زندگی ہم فیصلے کرنے کے لئے ان کے وقت وقفے نہیں دیتا. اور ہم کمپیوٹرز کی امداد کا سہارا. اور یہ ایک الجبرا اور منطق اس کے قوانین اور خصوصیات کے ساتھ، وہاں ہے کہ یہاں ہے. اصل ڈیٹا کی تمام ڈاؤن لوڈ کرنے کے بعد، ہم کمپیوٹر تضادات کو ختم کرنے کے لئے اور ایک تسلی بخش حل تلاش کرنے کی تمام رشتے کو تسلیم کرنے کے لئے، کی اجازت دے.

ریاضی اور منطق

مشہور Gotfrid Vilgelm Leybnits "ریاضیاتی منطق"، کے تصور ہے جس کاموں علماء کے صرف ایک چھوٹے سے دائرے کو سمجھنے کے لئے آسان تھے تیار کی ہے. خاص طور پر دلچسپی کی سمت نقصان نہیں ہوا ہے، اور چند ہی سے پہچانا جاتا ریاضیاتی منطق کے XIX صدی کے وسط کے لئے.

سائنسی برادری میں بڑی دلچسپی ایک تنازعہ ہے جس میں انگریز Dzhordzh Bul کی، ریاضی کی ایک شاخ قائم کرنے کے اپنے ارادے کا اعلان کیا بالکل کوئی عملی استعمال نہ ہونے کی وجہ سے ہے. ہم اس وقت، تاریخ سے جانتے فعال طور پر صنعتی پیداوار کی ترقی کے طور پر، ہم معاون مشینوں کی تمام اقسام تیار، ٹی. E. تمام سائنسی دریافتوں ایک عملی واقفیت کے ہو چکے ہیں.

مستقبل میں، ہم کہتے ہیں کہ ایک بولین الجبرا - دنیا ریاضی کی آج حصے میں سب سے زیادہ استعمال. تو آپ دلیل Buhl کھو دیا.

Dzhordzh Bul میں

مصنف کی شخصیت پر خصوصی توجہ کا مستحق ہے. یہاں تک کہ حقیقت میں ماضی کے لوگوں نے ہم سے پہلے پلا بڑھا، اب بھی یہ جان. Buhl کے 16 سالوں میں گاؤں کے اسکول میں سکھایا، اور 20 سال لنکن میں ان کے اپنے اسکول کھولی ہے غور کرنا چاہیے کہ دیا. گنیتشتھ بالکل پانچ غیر ملکی زبانوں میں مہارت حاصل ہے، اور اپنے فارغ وقت میں، نیوٹن اور لاگرینج کے کاموں پڑھ رہا تھا. اور یہ سب - ایک عام کارکن کے بیٹے پر!

1839 میں، Buhl کیمبرج ریاضی جرنل میں ان کی پہلی سائنسی کاغذات بھیجا. سائنسدان 24 سال کر دیا. Boole کے کام 1844 میں انہوں نے کی ترقی میں ان کی شراکت کے لئے ایک تمغہ حاصل رائل سوسائٹی کے اتنی دلچسپی کے ارکان، ہے ریاضیاتی تجزیہ. جس میں ریاضیاتی منطق کے عناصر، ریاضی کی اجازت دی جوان CORK COUNTY کے کالج میں پروفیسر کے عہدے لینے کے لئے چند شائع کاغذات بیان کر رہے تھے. بہت Boole تعلیم پر یاد ہے کہ نہیں تھا.

خیال

اصولی طور پر، بولین الجبرا بہت آسان ہے. موجود ہیں بیانات (منطقی اظہارات) ریاضی کے پیش نظر کے نقطہ نظر سے، صرف دو الفاظ میں بیان کیا جا سکتا ہے کہ: "سچ" یا "جھوٹے". مثال کے طور پر موسم بہار کھلنے میں درخت - سچ، موسم گرما میں یہ برف - جھوٹ. ریاضی کی خوبصورتی یہ صرف اعداد کا استعمال کرنے کی سختی ضروری نہیں ہے کہ ہے. الجبرا فیصلوں کے لئے بہت منفرد معنی کے ساتھ کسی بھی بیانات فٹ.

اس طرح، منطق کی الجبرا لفظی ہر جگہ استعمال کیا جا سکتا ہے: شیڈولنگ اور لکھنے کی ہدایات میں، واقعات اور اعمال کی ترتیب کے تعین کے بارے میں متضاد معلومات کا تجزیہ. سب سے اہم بات - احساس کرنے کے اس سے کوئی فرق نہیں پڑتا کہ ہم بیانات کی سچائی یا استیتا کا تعین کس طرح. ان "کس طرح" اور "کیوں" آپ کو نظر انداز کرنے کی ضرورت ہے. کیا فرق پڑتا ہے صرف اس حقیقت کا ایک بیان ہے: سچ جھوٹ ہے.

کورس کے، مناسب نشانیاں اور علامات کے ساتھ ریکارڈ کیا جاتا ہے کہ منطق کی الجبرا کا سب سے اہم افعال پروگرامنگ. اور ان سے سیکھنے - یہ ایک نئی غیر ملکی زبان سیکھنے کے لئے کا مطلب ہے. کچھ بھی ناممکن ہے.

بنیادی تصورات اور تعریفیں

گہرائی میں جائے بغیر، ہم اصطلاحات کے ساتھ نمٹنے. لہذا، بولین الجبرا پیشگوئی کی گئی ہے:

• بیانات؛
• منطقی آپریشن؛
• افعال اور قوانین.

بیانات - کسی مثبت اظہار دو قدری تشریح کی جا سکتی ہے. وہ اعداد (5> 3) یا تیار کی جانے پہچانے الفاظ (- بڑا ستنپایی ہاتھی) کے طور پر لکھا جاتا ہے. اس صورت میں، جملہ بھی موجود کا حق ہے، صرف بولین الجبرا طور وضاحت "جراف کی گردن نہیں ہے" "جھوٹ".

تمام بیانات غیر مبہم ہونا چاہئے، لیکن وہ بنیادی یا کمپاؤنڈ ہو سکتا ہے. حالیہ استعمال منطقی بنڈل. ابتدائی منطق آپریشنز کے علاوہ کی طرف سے قائم الجبرا بیانات فیصلوں کمپاؤنڈ میں E..

بولین الجبرا کارروائیوں

ہم نے پہلے ہی کہ فیصلوں کا الجبرا میں کارروائیوں یاد - منطقی. بس، شامل منہا، یا اعداد کا موازنہ کرنے کے ریاضی کی کارروائیوں کا استعمال کرتے ہوئے اعداد کا الجبرا کے طور پر، ریاضیاتی منطق عناصر سے انکار کرنے یا حتمی نتیجہ کا حساب کرنے، پیچیدہ بیانات بنانے کے لئے کی اجازت دیتے ہیں.

تیاری اور سادگی فارمولے، ریاضی میں ہم سے واقف کی طرف سے ظاہر کی منطق آپریشن. بولین الجبرا کی مساوات کی خصوصیات یہ ممکن ریکارڈ اور نامعلوم حساب کرنے کے لئے بناتے ہیں. منطقی آپریشن عام طور پر سچ کی میز کی طرف سے ریکارڈ کیا جاتا ہے. اس کے عناصر کالم اور کمپیوٹنگ آپریشن ان پر کارکردگی کا مظاہرہ کر رہا ہے جس کی وضاحت، اور قطار کے حساب کا نتیجہ دکھا.

کارروائی کے بنیادی منطق

بولین الجبرا کی کارروائیوں میں سب سے زیادہ عام نفی (نہیں) ہیں، اور منطقی اور اور OR. تو یہ عملی طور پر الجبرا فیصلوں میں تمام اقدامات کی وضاحت کرنا ممکن ہے. ہم تین کارروائیوں میں سے ہر ایک کو تفصیل سے مطالعہ کیا.

نفی (نہیں) صرف ایک عنصر (اوپیرانڈ) پر لاگو کیا جاتا ہے. لہذا، آپریشن ایک یک رکنی نفی کہا جاتا ہے. "ایک" کا استعمال کرتے ہوئے اس طرح کی علامات کے تصور کو ریکارڈ کرنے کے لئے: ¬A، ایک یا ایک !. ٹیبل کی شکل میں اسے اس طرح لگتا ہے:

انکار طرح کے ایک بیان کی مخصوص کی تقریب: ایک سچ ہے تو، پھر ایک - جھوٹی ہے. مثلا، چاند زمین کے گرد گھومتا ہے - سچ؛ جھوٹ - زمین چاند کے گرد گھومتا ہے.

منطقی ضرب اور اس کے علاوہ

منطقی اور آپریشن ایک مل کر کہا جاتا ہے. اس کا کیا مطلب ہوتا ہے؟ سب سے پہلے، یہ، دو operands پر لاگو کیا جا سکتا ہے کہ یعنی کیا میں - .. ثنائی آپریشن. دوم، یہ سچ ہے صرف دونوں operands (A اور B دونوں) کی سچائی کی صورت میں ہے اور اظہار خود. کہاوت ہے، "صبر اور ایک چھوٹی سی کوشش" صرف دو عوامل کسی شخص مشکلات سے نمٹنے میں مدد کر سکتے ہیں کہ اس کا مطلب.

A∧B، A⋅B یا A && بی: علامات ریکارڈنگ کے لئے استعمال کیا جاتا ہے

مل کر ریاضی میں ضرب کی طرح ہے. کبھی کبھی اور کہتے ہیں - منطقی ضرب. آپ کے ٹیبل کی قطاروں کے عناصر ضرب، تو ہم منطقی سوچ کے لئے اسی طرح ایک نتیجہ حاصل.

Disjunction ایک منطقی یا آپریشن ہے. بیانات کی کم از کم ایک سچے (A یا B یا تو) ہے، اگر یہ سچ ہے. A∨B، A + B یا A || بی: یہ کی طرح اس لکھا ہے ان کارروائیوں کے لئے سچ کی میز ہیں:

اسی طرح ریاضی کے علاوہ Disjunction. 1 + 1 = 1: منطقی علاوہ آپریشن صرف ایک پابندی نہیں ہے. لیکن ہمیں یاد رکھنا ایک ڈیجیٹل فارمیٹ میں ریاضیاتی منطق 0 اور 1 کے لئے محدود ہے کہ (جہاں 1 - سچ، 0 - جھوٹی). مثال کے طور پر بیان "میوزیم میں آپ کو ایک شاہکار دیکھ یا ایک اچھی کمپنی کو تلاش کر سکتے ہیں" آپ نے فن کے کام دیکھ سکتے ہیں کا مطلب ہے کہ، اور یہ ایک دلچسپ شخص سے ملنے کے لئے ممکن ہے. ایک ہی وقت میں، دونوں واقعات کا بیک وقت تکمیل کے امکان کو مسترد نہیں کرتے.

افعال اور قوانین

لہذا، ہم نے پہلے سے ہی بولین الجبرا کا استعمال کرتے ہوئے کیا منطقی آپریشن جانتے ہیں. افعال ریاضیاتی منطق کے عناصر کی تمام خصوصیات کو بیان کیا اور ہمارے پیچیدہ کمپاؤنڈ بیانات کو آسان بنانے کے لئے اجازت دے. سب سے زیادہ واضح اور سادہ ماخوذ کارروائیوں کے مسترد جائیداد لگتا ہے. کی طرف سے ماخوذ XOR، مطلب اور مساوی سمجھ رہے ہیں. ہم صرف بنیادی آپریشن کے ساتھ پڑھا ہے، اور پھر جائیداد بھی ہے کے طور پر صرف ان پر غور کریں.

Associativity جیسے بیانات میں "A اور B دونوں، اور operands کے B 'تسلسل لسٹنگ کوئی فرق نہیں پڑتا کہ اس کا مطلب. مندرجہ ذیل کے طور پر فارمولا لکھا ہے:

(A∧B) ∧V = A∧ (B∧V) = A∧B∧V،

(A∨B) ∨V = A∨ (B∨V) = A∨B∨V.

آپ دیکھ سکتے ہیں، یہ مل کر لیکن ایک disjunction کو منفرد نہیں ہے.

Commutativity کی دلیل مل کر یا disjunction کا نتیجہ شے شروع میں تصور کیا جاتا تھا جس پر منحصر نہیں ہے کہ:

A∧B = B∧A؛ A∨B = B∨A.

Distributivity پیچیدہ منطقی اظہارات میں بریکٹ ظاہر کی اجازت دیتا ہے. قواعد الجبرا میں ضرب اور اس کے علاوہ افتتاحی قوسین سے ملتے جلتے ہیں:

A∧ (B∨V) = A∧B∨A∧V؛ A∨B∧V = (A∨B) ∧ (A∨V).

یونٹ خصوصیات اور سکریچ، ہو سکتا ہے جس operands میں سے ایک کو بھی صفر یا ایک، اور ایک یونٹ کے علاوہ کی طرف سے الجبری ضرب سے ملتے جلتے ہیں:

A∧0 = 0، A∧1 = A؛ A∨0 = A، A∨1 = 1.

Idempotency ہمیں بتاتا نسبتا دو برابر operands آپریشن کا نتیجہ ایک ہی ہے تو، آپ کو اضافی پیچیدہ استدلال operands "پھینک" کر سکتے ہیں. اور مل کر اور disjunction کارروائیوں idempotent ہیں.

B∧B = B؛ B∨B = B.

حصول بھی ہمیں مساوات آسان بنانے کے لئے اجازت دیتا ہے. جذب ہے کہ اظہار رائے سے ایک اوپیرانڈ پر اطلاق ہوتا ہے، جب نتیجہ اوپیرانڈ کے اسی عنصر کے ساتھ ایک اور آپریشن آپریشن جذب کیا جاتا ہے.

A∧B∨B = B؛ (A∨B) ∧B = B.

آپریشن کے تسلسل

آپریشن کے تسلسل بڑی اہمیت کا حامل ہے. دراصل، الجبرا کے لئے کے طور پر، ایک بولین الجبرا استعمال کرتا ہے ایک ترجیح تقریب ہے. فارمولے صرف آپریشن کی اہمیت سے مشروط آسان بنایا جا سکتا ہے. نہ ہونے کے برابر کرنے کے لئے سب سے اہم میں سے رینکنگ، ہم مندرجہ ذیل ترتیب حاصل:

1. انکار.

2. مل کر.

3. disjunction، XOR.

4. نہتارت، مساوی.

آپ کو صرف مل کر کی نفی کو دیکھ سکتے ہیں اور مساوی ترجیح نہیں بنایا ہے. disjunction اور XOR کی ایک ترجیح کے برابر، کے ساتھ ساتھ نہتارت اور تلیتا کی ترجیحات ہیں.

نہتارت اور تلیتا کے افعال

ہم نے کہا ہے کے طور پر، بنیادی منطقی آپریشن، ریاضیاتی منطق اور مشتقات استعمال کرتے ہوئے الگورتھم کے نظریہ کے علاوہ میں. یہ اکثر نہتارت اور مساوی ہے.

نہتارت یا منطقی نتیجہ - اس بیان، جس میں ایک کارروائی میں ایک شرط ہے، اور دیگر - اس کے نفاذ کا نتیجہ. دوسرے الفاظ میں، "تو ... پھر" کے بہانے کے ساتھ اس تجویز. "رات کے کھانے کے بعد جلد حساب آتا ہے." ڈرائیونگ کے لئے E. سلیج پہاڑی پر سخت کیا جا کرنے کے لئے. پہاڑ سے نیچے منتقل، اور پھر سلیج ھیںچیں کرنے کی کوئی خواہش نہیں ہے، تو ضروری نہیں ہے. اتنا لکھا ہے: ایک → B یا A⇒B.

مساوی خالص اثر اس وقت ہوتی ہے صرف اس وقت جب دونوں operands درست ہیں کا مطلب ہے. مثال کے طور پر، رات سورج افق سے زیادہ بڑھ جاتا ہے جب، (صرف اس صورت میں ہے اور) اس کے بعد دن کے لئے راستہ فراہم کرتا ہے. اس بیان کے ریاضیاتی منطق کی زبان میں A≡B، A⇔B، A == B. طور پر لکھا ہے

بولین الجبرا کے دیگر قوانین

الجبرا فیصلے تیار کرتا ہے، اور بہت سے دلچسپی رکھنے والے سائنسدانوں نئے قوانین وضع کرنے کے لئے. سب سے زیادہ مشہور غور کر رہے ہیں سکاٹش گنیتشتھ او ڈی مورگن postulates کہ. انہوں نے محسوس کیا اور قریبی نفی، اس کے علاوہ اور ڈبل منفی طور پر ایسی خصوصیات کی ایک تعریف دی.

بند انکار قوسین ہے اس سے پہلے کہ کوئی انکار ہے کہ پتہ چلتا ہے: نہیں (A یا B) = نہیں ایک یا بی NOT

جب اوپیرانڈ تردید کی ہے، قطع نظر اس کی قیمت کی وجہ سے، اس کے علاوہ کے بارے میں کہتے ہیں:

B∧¬B = 0؛ B∨¬B = 1.

اور آخر میں، ڈبل نفی خود معاوضہ. یعنی یا تو اوپیرانڈ نفی غائب یا صرف ایک ہی رہتا ہے اس سے پہلے.

ٹیسٹ کو حل کرنے کے لئے کس طرح

منطق آسان بنانے مقدر مساوات کا مطلب. بس جھوٹ الجبرا میں، یہ زیادہ سے زیادہ کی پہلی حالت کی سہولت کے لئے (پیچیدہ ان پٹ کی کارروائیوں سے چھٹکارا حاصل کرنے کے لئے، اور ان کے ساتھ) کے لئے ضروری ہے کی طرح، اس کے بعد ایک درست جواب کے لئے تلاش شروع.

کیا آسان بنانے کے لئے کرنا ہے؟ ایک سادہ آپریشن میں تمام مشتقات میں تبدیل کریں. پھر (اس عنصر کو کم کرنے بریکٹ بنانے کے لئے یا اس کے برعکس،) تمام بریکٹ ننگا. اگلا قدم عملی طور پر بولین الجبرا خصوصیات کا استعمال کرنے کے لئے ہونا چاہئے (جذب خصوصیات صفر اور ایک، اور ٹی.).

بالآخر، مساوات سادہ آپریشن کے ساتھ مل کر unknowns کے ایک کم از کم تعداد، پر مشتمل ہونا چاہئے. ایک حل تلاش کرنے کے لئے سب سے آسان طریقہ آپ کو قریب منفی کی ایک بڑی تعداد کو بنانے کے اگر. پھر جواب خود ہی تو اس کو اپ پاپ گا.