غیر معینہ لازمی. غیرواضح تکامل کا حساب

ریاضی تجزیہ کے بنیادی حصوں میں سے ایک اٹوٹ حسابان ہے. یہ غیر معینہ لازمی ہے - یہ اشیاء، جہاں سب سے پہلے میں سے ایک بہت وسیع میدان پر محیط ہے. ہائی اسکول میں اب بھی ہے کہ ایک اہم اعلی ریاضی بیان کرتا ہے جس کے امکانات اور مواقع کی بڑھتی ہوئی تعداد، سے پتہ چلتا ہے کے طور پر پوزیشن یہ کھڑا ہے.

ظہور

پہلی نظر میں، یہ جدید، حالات کو بالکل لازمی لگتا ہے، لیکن عملی طور پر یہ ہے کہ وہ 1800 میں واپس آیا باہر کر دیتا BC. ہمیں اس کے وجود کے پہلے ثبوت نہیں پہنچا طور ہوم باضابطہ مصر سمجھا جائے. اس وجہ سے میں معلومات کی کمی کی وجہ سے، تمام جبکہ ایک رجحان کے طور پر صرف پوزیشن. انہوں نے ایک بار پھر اس وقت کے لوگوں کے سائنسی ترقی کی سطح کی تصدیق. آخر میں، کام نہیں ملے تھے ، قدیم یونانی ریاضی دانوں 4th صدی قبل مسیح سے ڈیٹنگ. انہوں نے استعمال کیا طریقہ کار غیر معینہ لازمی ہے، جس کا جوہر ایک curvilinear شکل کے حجم یا علاقے (تین جہتی اور دو جہتی طیارے بالترتیب) تلاش کرنے کے لئے تھا جہاں کی وضاحت. حساب کتاب لامتناہیتی اجزاء میں اصل اعداد و شمار کی تقسیم کے اصول پر مبنی تھا، حجم (علاقے) پہلے ہی ان سے کہا جاتا ہے کہ فراہم کی. وقت گزرنے کے ساتھ، طریقہ کار میں اضافہ ہوا ہے، آرکمڈیج یہ ایک پرولی کے علاقے تلاش کرنے کے لئے استعمال کیا. ایک ہی وقت میں اسی طرح کے حسابات قدیم چین میں، جہاں وہ یونانی ساتھی سائنس سے مکمل طور پر آزاد تھے میں مشقیں منعقد کرنے.

ترقی

گیارہویں صدی ق م میں اگلے پیش رفت عرب عالم کا کام بن گیا ہے "ویگن" کی حدود دھکیل دیا جو ابو علی امام بصری، پہلے ہی کہا جاتا ہے، چوتھے کو پہلے سے رقوم اور ڈگریوں کی رقوم کو شمار کرتے ہمیں معلوم ہے اس کے لئے درخواست دینے کے لئے لازمی فارمولے سے حاصل کر رہے تھے تعیناتیوں طریقہ.
آج کے ذہنوں کو قدیم مصری، کوئی خاص اوزار کے بغیر حیرت انگیز یادگاروں پیدا کی طرف سے ان کے اپنے ہاتھوں کی اس کے لئے سوائے تعریف کی جاتی ہیں، لیکن کوئی کم وقت ایک معجزہ کی طاقت پاگل سائنسدانوں نہیں ہے؟ ان کی زندگی کی موجودہ اوقات کے ساتھ مقابلے میں تقریبا آدم لگتے ہیں لیکن غیر معینہ تکامل کے فیصلے کو ہر جگہ اخذ اور مزید ترقی کے لئے عملی طور پر استعمال کیا.

اگلا قدم، XVI صدی میں جگہ لے لی اطالوی ریاضی داں Cavalieri اٹھایا جس ناقابل تقسیم طریقہ، لے کر آئے تو فی Ferma. یہ دونوں کی شخصیت اس وقت جانا جاتا ہے جو جدید لازمی حسابان، کی بنیاد رکھی. وہ جو پہلے خود موجود یونٹوں کے طور پر دیکھا گیا تھا فرق اور انضمام کے تصورات، بندھے ہوئے. مجموعی طور پر، اس وقت کے ریاضی بکھری ذرات نتائج محدود استعمال کے ساتھ، خود کی طرف سے موجود تھا. متحد اور کامن گراؤنڈ تلاش کرنے کے لئے راستہ اس کا شکریہ، جدید لمحے میں صرف سچ تھا، ریاضیاتی تجزیہ بڑھنے اور ترقی کرنے کا موقع ملا.

وقت گزرنے کے ساتھ سب کچھ اور اٹوٹ علامت کے طور پر ساتھ ساتھ بدلتے رہتے ہیں. مجموعی طور پر، اس کے جو اپنی راہ میں، مثال کے طور پر نیوٹن ایک تکامل تقریب ڈال ہے جس، یا صرف ایک دوسرے کے ساتھ ڈال دیا ایک مربع آئیکن، استعمال کیا سائنسدانوں نامزد کیا گیا تھا. یہ تفاوت XVII صدی، ریاضیاتی تجزیہ سائنسدان Gotfrid Leybnits کے پورے اصول کے لئے ایک سنگ میل ہم سے واقف طرح کے ایک کردار کو متعارف کرایا جب تک چلا. لمبا "S" دراصل یہ خط پر مبنی ہے ، رومن حروف تہجی primitives کی رقم پر کرنا تھا. اٹوٹ کے نام 15 سال بعد جیکب برنولی کی بدولت حاصل کی.

رسمی تعریف

غیر معینہ لازمی آدم کی تعریف پر منحصر ہے، لہذا ہم اسے پہلی جگہ میں غور کریں.

Antiderivative - استخراجی کا معکوس تقریب، عملی طور پر یہ آدم کہا جاتا ہے. ورنہ: D کے آدم تقریب - ایک تقریب D، استخراجی وی <=> وی '= وی ہے جس میں ہے. آدم تلاش معینہ لازمی حساب کرنے کے لئے ہے، اور عمل خود انضمام کہا جاتا ہے.

مثال:

تقریب S (Y) = Y ^3، اور اس کی قدیم S (Y) = (Y ^4/4).

تقریب کی تمام primitives کی سیٹ - اس غیر معینہ لازمی ہے، مندرجہ ذیل کے طور پر اس کی علامت سے لکھتے: ∫v (X) DX.

V (X) اس حقیقت کی وجہ سے ہے - صرف کچھ آدم کی اصل تقریب کے ہیں، اظہار رائے کی ڈگری حاصل کی: ∫v (X) DX = V (X) + C، جہاں C - مسلسل. صوابدیدی مسلسل تحت، کسی بھی مسلسل سے مراد اس کا مشتق صفر ہے کے بعد سے.

خواص

غیر معینہ لازمی کی طرف سے موجود خصوصیات، بنیادی طور پر تعریف اور مشتقات کی خصوصیات کی بنیاد پر.
اہم نکات پر غور کریں:

• آدم کا اٹوٹ اخذ خود کے علاوہ ایک صوابدیدی مسلسل C <=> ∫V آدم ہے '(x) کے DX = V (X) + C؛
• ایک دالہ کا مشتق <=> (∫v (X) DX) 'اصل کام ہے = V (X)؛
• مسلسل لازمی نشانی <=> ∫kv (X) نیچے سے باہر لے جایا جاتا ہے DX = k∫v (X) DX، جہاں K - صوابدیدی ہے؛
• لازمی، <=> ∫ (V (Y) + W (Y)) DY = ∫v (Y) DY + ∫w (Y) DY تکامل کی رقم کو شناختی برابر کی رقم سے لیا جاتا ہے.

گزشتہ دو خصوصیات سے یہ نتیجہ اخذ کیا جا سکتا ہے غیر معینہ لازمی لکیری ہے. اس وجہ سے، ہم ہیں: ∫ (KV (Y) DY + ∫ LW (Y)) DY = k∫v (Y) DY + l∫w (Y) ڈپٹی

حلوں غیرواضح تکامل فکسنگ کی مثالیں ملاحظہ کرنے کے لئے.

آپ لازمی ∫ (3sinx + 4cosx) DX تلاش کرنا ہوگا:

• ∫ (3sinx + 4cosx) DX = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.

مثال سے ہم یہ نتیجہ اخذ کر سکتے ہیں کہ آپ غیر معینہ تکامل کو حل کرنے کا طریقہ معلوم نہیں ہے؟ بس تمام primitives میں تلاش! لیکن اصولوں کے لئے تلاش ذیل میں تبادلہ خیال کیا.

طریقوں اور مثالیں

لازمی حل کرنے کے لئے، آپ کو مندرجہ ذیل طریقوں کا سہارا کر سکتے ہیں:

• میز کا فائدہ اٹھانے کے لئے تیار؛
• حصوں کی طرف سے مجموعی کی؛
• متغیر کی جگہ کی طرف مربوط؛
• تفریقی کی علامت کے تحت میزانی.

میزیں

سب سے زیادہ سادہ اور آننددایک طریقہ. اس وقت، حساب کا تجزیہ غیرواضح تکامل کے بنیادی فارمولے بیان جس میں کافی وسیع میزیں، فخر کر سکتے ہیں. دوسرے الفاظ میں، آپ پر منحصر حاصل کردہ سانچوں سے ہیں اور آپ کو صرف ان کا فائدہ لے سکتے ہیں. یہاں تقریبا ہر مثال دکھایا جا سکتا ہے جس میں اہم میز عہدوں کی فہرست ہے، ایک حل ہے:

• ∫0dy = C، جہاں C - مسلسل؛
• ∫dy = Y + C، جہاں C - مسلسل؛
• ∫y ^ن DY = (Y ^{ن + 1)} / (ن + 1) + C، جہاں C - ایک مسلسل، اور N - تعداد کے اتحاد سے مختلف؛
• ∫ (1 / Y) DY = LN | Y | + C، جہاں C - مسلسل؛
• ^{∫e Y DY = ای Y + C} ، جہاں C - مسلسل؛
• ^{∫k Y DY = (K Y /} LN K) + C، C - جہاں مسلسل؛
• ∫cosydy = siny + C، جہاں C - مسلسل؛
• ∫sinydy = -cosy + C، جہاں C - مسلسل؛
• ∫dy / ک ² Y = tgy + C، جہاں C - مسلسل؛
• ∫dy / گناہ ² Y = -ctgy + C، جہاں C - مسلسل؛
• ∫dy / (1 + Y ²⁾ = arctgy + C، جہاں C - مسلسل؛
• ∫chydy = شرم + C، جہاں C - مسلسل؛
• ∫shydy = chy + C، جہاں C - مسلسل.

اگر ضروری ہو تو، ایک ٹیبل نقطہ نظر کے لئے اقدامات کے ایک جوڑے integrand قیادت بنانے اور فتح کا لطف اٹھائیں. مثال: ∫cos (5X -2) DX = 1 / 5∫cos (5X - 2) D (5X - 2) = 1/5 ایکس گناہ (5X - 2) + سی

فیصلے کے مطابق یہ مثال کے طور پر ایک ٹیبل integrand ضارب 5. ہم جنرل اظہار کرنے 1/5 سے اس ضرب کے ساتھ متوازی میں اسے شامل نہیں بدلے فقدان ہے کہ واضح ہے.

حصوں کی طرف انٹیگریشن

Z (Y) اور ایکس (Y) - دو افعال پر غور کریں. انہوں نے اپنے ڈومین پر مسلسل تفرقا ہونا ضروری ہے. ایک کو تفرق خواص میں ہم ہیں: D (XZ) = xdz + zdx. دونوں اطراف ضم، ہم حاصل: ∫d (XZ) = ∫ (xdz + zdx) => ZX = ∫zdx + ∫xdz.

- ∫xdz ∫zdx = ZX: نتیجے مساوات دوبارہ لکھ، ہم فارمولے، حصوں کی طرف سے انضمام کے طریقہ کار کی وضاحت جو ملتا ہے.

یہ کیوں ضروری ہے؟ مؤخر الذکر ٹیبل فارم کے قریب ہے تو حقیقت یہ مثالیں اسے آسان بنانے کے لئے ممکن ہے کچھ،، کا کہنا ہے کہ ہے کہ ∫zdx ∫xdz کو کم کرنے کے لئے. اس کے علاوہ، اس فارمولے زیادہ سے زیادہ نتائج کے لئے، ایک سے زائد مرتبہ استعمال کیا جا سکتا ہے.

کس طرح غیرواضح تکامل کو اس طرح حل کرنے کے لئے:

• ∫ (ے + 1) ای ^2S ڈی ایس کو شمار کرنے کے لئے ضروری

∫ (X + ^{1) ای 2S DS = {Z =} ے + 1، DZ = DS، Y = 1 ^{/ 2E 2S، ڈپٹی = ای 2X} DS} = ((ے + 1) ای ^2S) / 2-1 / 2 ∫e ^2S DX = ((ے + 1) ای ^2S) / 2-ای ^2S / 4 + C؛

• ∫lnsds حساب کرنا ضروری ہے

∫lnsds = {Z = ل، DZ = DS / ے، Y = S، DY = DS} = slns - ∫s ایکس ڈی ایس / S = slns - ∫ds = slns -s + C = S (ل-1) + C.

متغیر بدلنا

غیرواضح تکامل حل کرنے کا یہ اصول، گزشتہ دو سے زیادہ مانگ میں نہیں کم پیچیدہ اگرچہ ہیں. مندرجہ ذیل کے طور پر طریقہ کار یہ ہے کہ: دو V (X) - بعض تقریب V (X) کا اٹوٹ. اپنے آپ میں میں مثال slozhnosochinenny لازمی آتا کہ صورت میں، الجھن اور غلط راستے کے حل نیچے جانے کا امکان ہے. اس عمل کو جس میں Z ایکس کے لحاظ برقرار رکھتے ہوئے جنرل اظہار ضعف کو آسان کرنے کے لئے Z متغیر X سے تبدیلی، سے بچنے کے لئے.

ریاضی کی اصطلاحات میں، یہ مندرجہ ذیل ہے: ∫v (X) DX = ∫v (Y (Z)) Y '(Z) DZ = V (Z) = V (Y -1 (X))، جہاں X = Y ( Z) - متبادل. اور، کورس کے، الٹا تقریب Z = Y ^-1 (X) کو مکمل طور پر تعلقات اور متغیرات میں سے تعلق کو بیان کرتا ہے. اہم نوٹ - تفریقی DX ضروری ایک نئے تفریقی DZ ساتھ تبدیل، غیر معینہ لازمی میں متغیر کی تبدیلی کے بعد نہ صرف integrand میں، ہر جگہ اس کی جگہ شامل ہے.

مثال:

• ڈی ایس - ∫ (ے + 1) / (5 ے ² + 2S) کو تلاش کرنا ہوگا

متبادل Z = (ے + 1) لگائیں / (ے ² + 2S-5). پھر DZ = 2sds = 2 + 2 (ے + 1) ڈی ایس <=> (ے + 1) ڈی ایس = DZ / 2. نتیجے کے طور پر، مندرجہ ذیل اظہار، بہت آسان ہے جس کو شمار کرنے کے لئے:

∫ (ے + 1) / (ے ² + 2S-5) ڈی ایس = ∫ (DZ / 2) / Z = 1 / 2ln | Z | + C = 1 / 2ln | ے ² + 2S-5 | + C؛

• آپ لازمی ∫2 ^ے ای ^ایس DX تلاش کرنا ہوگا

مندرجہ ذیل فارم میں پنرلیکھن کو حل کرنے کے لئے:

^{∫2 ے ای ایس ڈی ایس = ∫ (} 2E) کے ڈی ایس.

ہماری بنیادی ٹیبل فارم کو بظاہر پیچیدہ لازمی ہم (یہ اب بھی s ہے دلیل یہ قدم نہیں ہے کے متبادل) ایک = 2E طرف مطلع کرنا ہے، ہم دے:

^{∫ (2E) کے ڈی ایس = ∫a} ے DS = ایک S / LNA + C = (2E) S / LN (2E) + C = 2 ^کے ای ^ایس / LN (2 + lne) + C = 2 ^کے ای ^ایس / (ln2 + 1) + سی

تفرقی نشانی میزانی

کی طرف سے اور بڑے، غیر معینہ تکامل کا یہ طریقہ - متغیر کی تبدیلی کے اصول کے جڑواں بھائی ہیں لیکن رجسٹریشن کے عمل میں اختلافات ہیں. ہمیں مزید تفصیل سے غور کرتے ہیں.

تو ∫v (X) DX = V (X) + C اور y = Z (X)، پھر ∫v (Y) DY = V (Y) + سی

ایک ہی وقت میں ہم چھوٹی سی لازمی تبدیلیوں، جن میں نہیں بھولنا چاہئے:

• DX = D (X + ا)، اور جس میں - ہر ایک مسلسل؛
• DX = (1 / ا) د (کلہاڑی + B)، جہاں A - مسلسل دوبارہ، لیکن نہیں صفر؛
• xdx = 1 / 2D (X ² + ب)؛
• sinxdx = -d (cosx)؛
• cosxdx = D (sinx).

ہم عام کیس ہم غیر معینہ لازمی تخمینہ لگانا جہاں سمجھتے ہیں، مثالیں W '(x) کے DX = DW (X) جنرل فارمولے کے تحت شامل کیا جا سکتا ہے.

مثالیں:

• تلاش کرنا ہوگا ∫ (2S + 3) ² ڈی ایس، ڈی ایس = 1 / 2D (2S + 3)

∫ (2S + 3) ² ڈی ایس = 1 / 2∫ (2S + 3) ² د (2S + 3) = (1/2) X ((2S + 3) ²⁾ / 3 + C = (1/6) X (2S + 3) ² + C؛

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (coss) / coss = -ln | coss | + سی

آن لائن مدد

کچھ صورتوں میں، جس کی غلطی بن سکتے ہیں یا آلسی، یا ایک فوری ضرورت ہے، آپ ایک کیلکولیٹر غیرواضح تکامل استعمال کرنے کے لئے لائن کے اشارہ پر استعمال کر سکتے ہیں، یا بلکہ،. بظاہر پیچیدگی اور تکامل کے متنازعہ نوعیت کے باوجود فیصلے ان کے مخصوص الگورتھم، "تم نہیں ... پھر ایسا کرتے ہیں ..." کے اصول پر مبنی ہے جس کے تحت ہے.

بالکل، اس طرح ایک کیلکولیٹر کے ایک خاص طور پر پیچیدہ مثالیں نتائج تک پہنچنے کے لئے واضح طریقے ہیں کیونکہ جس میں ایک فیصلہ کو تلاش کرنے کے لئے ایک مصنوعی طور پر عمل میں بعض عناصر متعارف کرانے کی طرف "جبری" ہے کے معاملات ہیں، ماسٹر نہیں ہوں گے. اس بیان کے متنازعہ نوعیت کے باوجود یہ ریاضی کے طور پر، اصولی طور پر، ایک خلاصہ سائنس، اور اس کے بنیادی مقصد سرحدوں کو بااختیار بنانے کی ضرورت سمجھتی ہے، سچ ہے. بے شک، کے لئے ایک ہموار رن میں نظریات تک منتقل اور تیار ہے، تو غیر معینہ تکامل حل کرنے کی مثالیں، جس نے ہمیں دیا ہے کہ فرض نہیں ہے کے لئے بہت مشکل ہے - اس کے مواقع کی انتہا ہے. لیکن چیزوں کے تکنیکی پہلو پر واپس. حسابات کی جانچ کرنا کم سے کم، آپ کو سروس ہے جس میں یہ ہمارے لئے لکھا گیا استعمال کر سکتے ہیں. پیچیدہ اظہار کا خود کار طریقے سے حساب کے لئے ایک ضرورت ہے، تو وہ ایک سے زیادہ سنگین سافٹ ویئر پر مائل کرنے کی ضرورت نہیں. بنیادی طور پر ماحول MATLAB پر توجہ دینا چاہئے.

درخواست

پہلی نظر میں غیر معینہ تکامل کے فیصلے، حقیقت سے مکمل طور پر علیحدہ لگتا ہے کہ یہ طیارے کا واضح استعمال دیکھنے کے لئے مشکل ہے کیونکہ. بے شک، براہ راست کہیں بھی آپ نہیں کر سکتے ان کا استعمال، لیکن وہ عملی طور پر استعمال کیا حل کے انخلا کے عمل میں ایک ضروری انٹرمیڈیٹ عنصر ہیں. اس طرح، واپس تفریق کا انضمام، اس طرح فعال طور پر مساوات کو حل کرنے کے عمل میں حصہ لے.
مختصر میں، حال اور مستقبل کی تشکیل کی جاسکتی ہے کہ سب کچھ - کے نتیجے میں، ان مساوات میکانی مسائل، رفتار کا حساب کتاب اور تھرمل چالکتا کے فیصلے پر ایک براہ راست اثر پڑتا ہے. ، غیر معینہ لازمی مثالوں جس کا ہم نے اوپر، پہلی نظر میں صرف معمولی، ایک بنیاد کے طور پر تصور کیا جاتا ہے کے زیادہ سے زیادہ نئی دریافتوں سے باہر لے جانے کے لئے.