احتمال نظریہ کے بنیادی تصورات. احتمال نظریہ کے قوانین

بہت سے لوگ، کی "احتمال نظریہ" تصور کے ساتھ سامنا کرنا پڑا جب، خوفزدہ سوچ یہ بہت مشکل ہے کچھ ناقابل برداشت ہے کہ. لیکن یہ اصل میں اتنی المناک نہیں ہے. آج ہم احتمال نظریہ کے بنیادی تصورات کو دیکھو، ٹھوس مثالیں طرف سے مسائل کو حل کرنے کے لئے معلومات حاصل کریں.

سائنس

کیا ایک "احتمال نظریہ" کے طور پر ریاضی کی ایک شاخ کا مطالعہ کیا جاتا ہے؟ اس پیٹرن نوٹ بے ترتیب واقعات کی اور متغیر. پہلی بار اٹھارہویں صدی میں متعلقہ سائنسدانوں کا معاملہ، جوا کی تعلیم حاصل کی ہے جب کے لئے. احتمال نظریہ کے بنیادی تصورات - ایونٹ. اس تجربے یا مشاہدے کی طرف سے بیان کیا گیا ہے کہ کسی بھی حقیقت ہے. لیکن تجربہ کیا ہے؟ امکانات کا نظریہ کا ایک اور بنیادی تصور. اس کا مطلب ہے حالات کے اس حصے کو اتفاقی طور پر پیدا نہیں کر رہے ہیں، اور ایک مقصد کے ساتھ. نگرانی کے حوالے سے، محقق خود تجربے میں حصہ لینے نہیں ہے نہیں ہے، لیکن صرف ان واقعات کا گواہ ہے، یہ کیا ہو رہا ہے پر کوئی اثر نہیں ہے.

واقعات

ایونٹ، لیکن درجہ بندی کے بارے میں غور نہیں کیا تھا - ہم نے احتمال کی تھیوری اور اس کے بنیادی تصور ہے کہ سیکھا. ان میں سے سب سے مندرجہ ذیل اقسام میں تقسیم کیا جاتا ہے:

• قابل اعتماد.
• ناممکن.
• رینڈم.

کوئی بات نہیں جو واقعہ جس کو دیکھا یا تجربہ کے دوران میں پیدا کیا جا رہا ہے، یہ ہے، وہ اس درجہ بندی سے متاثر ہیں. ہم علیحدہ سے ملو کے ہر قسم کے پیش کرتے ہیں.

مخصوص واقعہ

یہ جس کی سرگرمیوں کی ضروری سیٹ بنانے کے لئے کرنے کے لئے ایک حقیقت ہے. بہتر جوہر پکڑ کرنے کے لئے، یہ چند مثالیں دینے کے لئے بہتر ہے. یہ قانون اور فزکس، کیمسٹری، معاشیات، اور اعلی ریاضی کے ماتحت ہے. احتمال نظریہ ایک اہم ایونٹ کے طور پر اس طرح ایک اہم تصور بھی شامل ہے. یہ چند مثالیں ہیں:

• ہم کام کرتے ہیں اور اجرت کی شکل میں پارشرمک حاصل کرتے ہیں.
• ٹھیک ہے، امتحان پاس کیا یہ ایک تعلیمی ادارے میں داخلہ کی صورت میں معاوضے وصول کرنے کے لئے ایک مقابلے کا انتقال.
• ہم بینک میں پیسہ سرمایہ کاری کی ہے، اگر ضروری ہو تو ان کو واپس مل جائے.

ایسے واقعات حقیقی ہیں. ہم تمام ضروری شرائط پوری کی ہے تو، توقع نتیجہ حاصل کرنے کے لئے یقینی بنائیں.

ناممکن واقعہ

اب ہم احتمال کے نظریہ کے عناصر پر غور کریں. یعنی ناممکن - ہم واقعات کی مندرجہ ذیل اقسام میں وضاحت کرنے کے لئے جانے کے لئے پیش کرتے ہیں. شروع کرنے کے لئے سب سے اہم اصول شرط - ایک ناممکن ایونٹ کا امکان صفر ہے.

اس کی تشکیل سے مسائل کو حل کرنے میں derogated نہیں کیا جا سکتا. اس طرح کے واقعات کی مثالوں وضاحت کرنے کے لئے:

• پانی کے درجہ حرارت کے علاوہ دس (یہ ناممکن ہے) میں منجمد ہے.
• بجلی کی پیداوار کو متاثر نہیں کرتا کی کمی (گزشتہ مثال میں کے طور پر کے طور پر ناممکن).

مزید مثالیں دی جاتی ہے کے طور پر اس زمرے کے جوہر کی عکاسی بہت واضح طور پر اوپر بیان، ضروری نہیں ہے. ناممکن واقعہ کسی بھی صورت میں تجربہ کے دوران کبھی نہیں ہوتا.

بے ترتیب واقعات

احتمال نظریہ کے عناصر کا مطالعہ کر کے، خصوصی توجہ ایونٹ کی دی گئی قسم کو ادا کی جانی چاہئے. یہ اس سائنس کا مطالعہ ہیں. کچھ ہوا ہے یا نہیں کر سکتے ہیں کے تجربے کے نتیجے کے طور پر. اس کے علاوہ، ٹیسٹ کے اوقات کی لامحدود تعداد میں باہر کیا جا سکتا ہے. قابل ذکر مثالوں میں شامل ہیں:

• ٹاس سکوں - اس واقعہ ہے - یہ ایک تجربہ ہے، یا ٹیسٹ، ایک چیل کے نقصان ہے.
• بیگ آنکھ بند سے گیند ھیںچ - اس ایونٹ اور اسی طرح کی - ٹیسٹ، سرخ گیند پکڑا گیا تھا.

اس طرح کی مثالوں کی لامحدود تعداد میں ہو سکتا ہے، لیکن عام طور پر، سمجھ جائیں گے. مختصر اور ایک میز کے واقعات کے بارے میں حاصل علم سویوستیت کرنے. احتمال نظریہ جائزوں تمام پیش کی صرف مؤخر الذکر قسم.

نام	تعریف	مثال
قابل اعتماد	واقعات ایک مکمل ضمانت، کچھ شرائط کے ساتھ مشروط ساتھ واقع ہونے.	اچھا وقت داخلہ امتحان میں اسکول میں داخلہ.
ناممکن	واقعات کسی بھی صورت میں کبھی نہیں ہو گی.	یہ تیس ڈگری سینٹی گریڈ سے اوپر کے ایک فضائی درجہ حرارت پر برف پڑ رہی ہے.
رینڈم	ایونٹ، جو مئی یا تجربہ / ٹیسٹ کے دوران میں نہیں کرسکتے.	ایک مس مارا یا رنگ میں ایک باسکٹ بال پھینک دی.

قوانین

احتمال نظریہ - سائنس کسی بھی ایونٹ کے نقصان کے امکان کا مطالعہ ہے. دوسروں کی طرح، یہ کچھ شرائط ہیں. احتمال نظریہ کی درج ذیل قوانین:

• تصادفی متغیر کے انداز کے ابسرن.
• بڑی تعداد کے قانون.

ایک پیچیدہ کے امکان کو شمار کرتے وقت نتائج آسان اور تیز طریقہ کے حصول کے لیے پیچیدہ سادہ واقعات پر استعمال کیا جا سکتا ہے. یہ احتمال نظریہ کے قوانین آسانی قضیہ میں سے کچھ کی مدد سے ثابت کیا جا سکتا ہے کہ غور کرنا چاہیے. ہم سب سے پہلے قانون کے ساتھ واقف کرنے کے لئے شروع کرنے کے لئے مشورہ دیتے ہیں.

تصادفی متغیر کے انداز کے ابسرن

متعدد قسم کے ابسرن یاد رکھیں کہ:

• تصادفی متغیر کی ترتیب امکان میں ابسرن.
• تقریبا ناممکن.
• RMS ابسرن.
• تقسیم میں کنورجنس.

لہذا، مکھی پر، یہ بہت مشکل جوہر پکڑ کرنے کی ہے. یہاں موضوع کو سمجھنے میں مدد ملے گی کہ تعریفیں ہیں. پہلی نظر کے ساتھ شروع کرنے کے لئے. این انفینٹی نقطہ نظر، نمبر ترتیب کی طرف سے کوشش صفر سے زیادہ اور یونٹ کے قریب ہے: مندرجہ ذیل حالت تو ترتیب، امکان میں ابسرن کہا جاتا ہے.

تقریبا یقینی طور پر، اگلے منظر پر جائیں. وہ تسلسل ن انفینٹی کے لئے دیکھ بھال، اور R، اتحاد کے قریب ایک قیمت کے لئے دیکھ بھال کے ساتھ ایک تصادفی متغیر کے لئے تقریبا ضرور converges کہنا ہے کہ.

اگلے قسم - RMS کے ابسرن. ویکٹر بے ترتیب عمل کی سپریم کورٹ- سیکھ ابسرن استعمال کرتے وقت بے ترتیب بدلہ کر عمل کے مطالعہ کو کم کر دیتا ہے.

آخری قسم کے مختصر طور پر نظر آتے ہیں اور مسائل کے حل کے لئے براہ راست جانے کے لئے کی اجازت تھی. تقسیم میں کنورجنس ایک اور نام ہے - "کمزور"، پھر کیوں کی وضاحت. کمزور ابسرن - حد تقسیم کی تقریب کے تسلسل کے تمام مقامات پر تقسیم کے افعال کے ابسرن ہے.

وعدہ رکھنے کے لئے اس بات کا یقین: کمزور ابسرن سب سے بڑھ کر سے مختلف ہے کہ تصادفی متغیر امکانات کی جگہ پر بیان نہیں کیا گیا ہے. حالت خصوصی طور پر تقسیم کے افعال کا استعمال کرتے ہوئے قائم کیا جاتا ہے، کیونکہ یہ ممکن ہے.

بڑی تعداد کے قانون

قانون کے ثبوت میں بہت اچھا مددگار جیسے احتمال نظریہ کے قضیہ جو ہو جائے گا:

• Chebyshev عدم مساوات.
• Chebyshev کی پرمیئ.
• سامانییکرت Chebyshev قضیہ.
• مارکوو قضیہ.

ہم ان تمام قضیہ کے بارے میں غور، تو پھر مسئلہ شیٹس کی کئی دسیوں لگ سکتے ہیں. پریکٹس میں احتمال نظریہ کی درخواست ہے - ہم اہم کام ہے. ہم ابھی آپ کو پیش کرتے ہیں اور ایسا. لیکن اس سے پہلے ہم احتمال نظریہ کے اصول پر غور، وہ مسائل کو حل کرنے میں اہم شراکت دار ہیں.

اصول

ناممکن ایونٹ کے بارے میں بات کرتے وقت پہلے سے، ہم پہلے سے ہی دیکھا ہے. کی یاد کرتے ہیں: ایک ناممکن ایونٹ کا امکان صفر ہے. مثال ہم ایک بہت وشد اور یادگار دی: برف ایک ہوا کا درجہ حرارت تیس ڈگری سینٹی گریڈ سے اوپر گر گیا.

مندرجہ ذیل کے طور پر دوسرے نمبر پر ہے: ایک خاص واقعہ کے احتمال کے اتحاد کے ساتھ ہوتا ہے. = P (B) 1: اب ہم اس کے ریاضیاتی زبان کی مدد سے لکھا ہے کہ کس طرح دکھائے گا.

تیسری: ایک بے ترتیب واقعہ ہو یا نہ ہو، لیکن امکان ہمیشہ ہے صفر سے ایک تک مختلف ہوتی ہیں. قریب یہ اتحاد، زیادہ امکانات کرنے کے لئے ہے؛ ویلیو صفر کے قریب ہے تو اس امکان بہت کم ہے. ہم ریاضی کی زبان میں یہ لکھنے کے: 0

آخری، چوتھا کلیہ غور، یہ ہے کہ: دو واقعات کا احتمال کی رقم ان کے امکانات کی رقم کے برابر ہے. لکھیں ریاضی کی اصطلاحات: P (A + B) = P (A) + P (B).

احتمال نظریہ کے اصول - یہ ہے کہ یاد کرنے کے لئے مشکل نہیں ہو گا ایک سادہ اصول ہے. کے پاس پہلے سے ہی حاصل کی علم کی بنیاد پر کچھ مسائل کو حل کرنے کی کوشش کرتے ہیں.

لاٹری ٹکٹ

ایک لاٹری - سب سے پہلے، سادہ ترین مثال پر غور کریں. کہ آپ کو اچھی قسمت کے لئے ایک لاٹری ٹکٹ خریدا ذرا تصور کریں. امکان ہے کہ آپ کم از کم بیس روبل جیت جائے گا کیا ہے؟ پانچ - کل گردش پانچ سو روبل، دس سو روبل یعنی بیس پچاس روبل، اور ایک سو کے ایک انعام ہے جن میں سے ایک ایک ہزار ٹکٹیں، میں ملوث ہے. امکانات کی تھیوری اور اس کے کام کی قسمت کے لئے ایک راستہ تلاش کرنے کا طریقہ کی بنیاد پر. ابھی مل کر ہم ٹاسکس قول کے اوپر کے فیصلے کا تجزیہ.

ہم پانچ سو روبل کا انعام طرف مطلع تو، پھر ایک کے امکانات 0.001 کے برابر ہے. ہم کس طرح حاصل کرتے ہیں؟ بس (: 1/1000 اس معاملے میں) کل تعداد سے تقسیم "خوش قسمت" کے ٹکٹ کی تعداد کی ضرورت ہے.

میں - ایک سو روبل کا ایک فائدہ، امکان 0.01 کے برابر ہو جائے گا. اب ہم آخری عمل کے طور پر اسی طرح میں کام کیا ہے (10/1000)

C - فوائد بیس روبل ہے. احتمال تلاش کریں، جو 0.05 کے برابر ہے.

ٹکٹوں ہم کوئی دلچسپی نہیں کر رہے ہیں کے باقی، ان کی انعامی رقم کے طور پر حالت میں وضاحت کے مقابلے میں کم ہے. ایک چوتھا کلیہ لگائیں: کم از کم بیس روبل جیتنے کے امکانات P (A) + P (B) ہے + P (C). خط پی ایونٹ کے نکالنے کے امکانات پر کرنا، پچھلے اقدامات میں ہم پہلے ہی ان کو پتہ چلا ہے. اس کے جواب میں ہم 0،061 ملتا ہے، ضروری اعداد و شمار ڈالنے کے لئے صرف رہتا ہے. یہ نمبر ملازمتوں کے سوال کا جواب ہو جائے گا.

کارڈز کے ڈیک

احتمال نظریہ پر مسائل، وہاں بھی زیادہ پیچیدہ ہے، مثال کے طور پر، اگلے کام لے رہے ہیں. چھتیس کارڈز کے آپ ڈیک سے پہلے. آپ کا کام - ایک قطار میں دو کارڈ کو اپنی طرف متوجہ کرنے کے لئے اختلاط ڈھیر بغیر، پہلی اور دوسری کارڈز ACES ہونا ضروری ہے، سوٹ کوئی فرق نہیں ہے.

شروع کرنے کے لئے امکان پہلے کارڈ ایک اککا ہے، چار چھتیس سے اس تقسیم کو تلاش کریں. ایک طرف رکھ دیا. ہم حاصل ایک دوسری کارڈ تین سو تیس پانچویں کے امکان کے ساتھ ایک اککا ہے. دوسرا واقعہ کا احتمال، انحصار کرتا ہے جس میں کارڈ پر ہم سب سے پہلے میں سے ایک نکالا ہم میں دلچسپی رکھتے ہیں جو ایک اککا تھا یا نہیں. اس سے یہ ایونٹ میں واقعہ A. پر انحصار کرتا ہے کہ مندرجہ ذیل ہے

اگلے مرحلے میں ہم بیک وقت نفاذ کے امکانات تلاش کرنے، یعنی، ضرب اور بی مندرجہ ذیل کے طور پر ان کا کام یہ ہے کہ: کسی دوسرے کا مشروط احتمال سے ضرب ایک واقعہ کا احتمال ہے، ہم یہ سوچتے ہیں یعنی پہلے واقعہ پیش آگئی ہے کہ، حساب، پہلی کارڈ ہم ایک اککا نکالا.

تمام صاف ہے بننے کے لئے ہے، کے طور پر عہدہ ایسے عنصر دینے کی مشروط احتمال واقعہ. یہ واقعہ ہے کہ ایک ہوا سنبھالنے کی طرف سے شمار کیا جاتا ہے. مندرجہ ذیل کے طور پر اس سے شمار کیا جاتا ہے: P (B / A).

P (A _* B) = P (A) _* P (B / A) یا P (A _* B) = P (B) _* P (A / B): ہم اپنے مسئلے کے حل میں توسیع. احتمال ہے _{(4/36) * ((3/35)} / (4/36) قریب ترین سوویں کو پکڑ دھکڑ کی طرف سے شمار کیا جاتا ہے ہم نے: .. 0.11 _* (0.09 / 0.11) = 0.11 _* 0، 82 = 0.09. احتمال ہم ایک قطار میں دو ACES باہر اپنی طرف متوجہ ہے کہ یہ واقعہ موجودگی کے امکانات انتہائی کم ہے کہ مندرجہ ذیل نو سینکڑہ کے برابر ہے. قدر بہت چھوٹا ہے.

بھول کمرے

ہم احتمال کے اصول مطالعہ کہ ملازمتوں کی کچھ زیادہ اختیارات کے لئے بنانے کے پیش کرتے ہیں. آپ کو اس مضمون میں دیکھا ہے ہیں میں سے کچھ کے حل کی مثالوں میں، درج ذیل مسئلہ حل کرنے کی کوشش کریں: لڑکا اپنے دوست کے آخری ہندسوں کے فون نمبر سے ہمیں بھول گیا، لیکن کال بہت اہم تھا کے بعد، اس کے بعد کے نتیجے میں ہر لینے کے لئے شروع کر دیا. ہم امکان ہے کہ وہ تین مرتبہ سے زیادہ نہیں کہیں گے حساب کرنے کی ضرورت ہے. مسئلے کا آسان ترین حل ہے، آپ احتمال نظریہ کے قواعد، قوانین اور اصول کو جانتے ہو.

آپ ایک حل کو دیکھنے سے پہلے، اپنے طور پر حل کرنے کی کوشش کریں. ہم جانتے ہیں کہ مؤخر الذکر کے اعداد و شمار دس اقدار کی کل کے لئے، صفر سے نو ہو سکتا ہے. مطلوبہ احتمال اسکور 1/10 ہے.

اگلا ہم، واقعات کی اصل کے لئے اختیارات پر غور کریں ہماری فرض لڑکا صحیح اندازہ لگایا اور حق جیت لیا ہے کہ مطلع کرنے کے لئے کی ضرورت ہے، اس طرح کے واقعات کا احتمال 1/10 کے برابر ہے. دوسرا آپشن: پہلی کال پرچی، اور دوسری ہدف. 9/10 کے آخر میں ہم نے 1/10 کے طور پر حاصل کرنے میں 1/9 سے ضرب: ہم اس طرح کے واقعات کے امکان کو شمار. تیسرا آپشن: پہلی اور دوسری کال غلط ایڈریس نکلے، وہ جہاں چاہتے تھے صرف تیسرا لڑکا تھا. اس طرح کے واقعات کے امکان کو شمار: 9/10 8/9 اور 1/8 سے ضرب، ہم نے 1/10 کے نتیجے کے طور پر حاصل کرتے ہیں. ہم دلچسپی نہیں ہیں مسئلہ کی شرط پر دیگر اختیارات، اس سے ہمیں ان نتائج لیٹ کرنے کے لئے رہتا ہے، آخر میں ہم نے ایک 3/10 ہے. جواب: امکان ایک لڑکا 0.3 کرنے کے لئے کوئی تین سے زیادہ مرتبہ یکساں فون کریں گی.

نمبروں کے ساتھ کارڈ

تم سے پہلے نو کارڈ، ایک سے نو تک ایک نمبر لکھا ہے جن میں سے ہر، اعداد کا اعادہ نہ ہو. وہ ایک باکس میں ڈال اور اچھی طرح مکس. تم امکان کو شمار کرنے کی ضرورت ہے

• ایک اور بھی تعداد میں نافذ؛
• ایک دو ہندسوں.

فیصلے کہ میٹر شرط کو آگے بڑھنے سے پہلے - کامیاب مقدمات کی تعداد ہے، اور این - کے اختیارات کی کل تعداد ہے. ہم سے احتمال تعداد میں بھی ہے کہ تلاش کرتے ہیں. چار میں سے کہ بھی تعداد کو شمار کرنا مشکل نہیں ہے، اور یہ ہماری میٹر، تمام نو ممکن اختیارات، یہ ہے کہ، M = 9 ہے. پھر احتمال 0.44 یا 4/9 کے برابر ہے.

ہم دوسری صورت نو کے ایڈیشن کی تعداد پر غور، اور ایک کامیاب نتائج بالکل نہیں ہو سکتا ہے، یہ ہے کہ، ایم صفر ہے. احتمال لمبا کارڈ صفر کے طور پر، ایک دو عددی تعداد پر مشتمل ہوگا کہ.